PHP. Sorting algorithms.

Selection Sort, Insertion Sort, Shell Sort, Merge Sort, Quick Sort.

Math. Отношения, рефлексивность, симметричность, транзитивность.

а) «x + у - нечетное число»
1. Рефлексивность.
Чтобы отношение было рефлексивным, необходимо, чтобы для любого x из Z выполнялось: «x+x - нечётное число». x+x = 2x. Любое целое число, умноженное на два, является чётным. Следовательно, отношение не рефлексивно, более того, оно является антирефлексивным.
2. Симметричность.
Чтобы отношение было симметричным, необходимо, чтобы для любых x,y, для которых выполняется «x + у - нечетное число», следовало, что «у + x - нечетное число». От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, следовательно, и чётность не изменяется. Отношение является симметричным.
3. Транзитивность.
Чтобы отношение было транзитивным, необходимо, чтобы для любых x,y,z, для которых выполняется «x + у - нечетное число» и «y + z - нечетное число», следовало, что «x + z - нечетное число».
Возьмём x=1, y=2, z=3:
x+y=1+2=3 нечётное,
y+z=2+3=5 нечётное,
x+z=1+3=4 чётное.
Следовательно, отношение не является транзитивным.

Math.

Factorial:

n! = 1 * 2 * 3 ... (n-1) * n
n! = (n - 1)! * n
0! = 1

Exponentiation:

a^m * aⁿ = a^{m + n}
a^m : bⁿ = a ^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^{m * n}
(a * b)^m = a^m * b^m
(a : b)^m = a^m : b^m

Entity, Boundary, Interactor (EBI) design pattern.

Data, Context, Interaction (DCI) design pattern.